Écart moyen

En statistique, et en probabilités, l'écart moyen est une mesure de la dispersion autour de la moyenne^{[réf. nécessaire]}.

En statistique

Il se calcule ainsi :

dans le cas d'une série discrète non triée, écart moyen = ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\bar {x}}|$ ;
dans le cas d'une série discrète regroupée^[1], écart moyen = ${\frac {\sum _{i=1}^{n}n_{i}|x_{i}-{\bar {x}}|}{\sum _{i=1}^{n}n_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}|x_{i}-{\bar {x}}|$ ;
dans le cas d'une série continue, écart moyen = ${\frac {\sum _{i=1}^{n}n_{i}|m_{i}-{\bar {x}}|}{\sum _{i=1}^{n}n_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}|m_{i}-{\bar {x}}|$ .

En probabilités

Définition

Pour une variable aléatoire réelle $X$ , l'écart moyen est la moyenne des écarts (absolus) à la moyenne : ${\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} \left(|X-\mathbb {E} (X)|\right)$ .

On précise parfois écart moyen absolu^{[réf. nécessaire]}, pour le différentier de l'écart moyen algébrique $\mathbb {E} \left(X-\mathbb {E} (X)\right)$ , lequel est nul.

Exemples

Si $X$ suit une loi binomiale $B(2n,1/2)$ , ${\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} (|X-n|)=n{\frac {2n \choose n}{2^{2n}}}\sim {\sqrt {n \over \pi }}$ .
Si $X$ suit une loi normale ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ , ${\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} (|X-\mu |)={\sqrt {2 \over \pi }}\sigma$ .
Si $X$ suit une loi géométrique de paramètre 1/2, ${\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} (|X-2|)=1$ .

Comparaison avec l'écart-type

L'écart moyen a une définition plus naturelle que l'écart-type $\sigma (X)={\sqrt {\mathbb {E} \left(\left(X-\mathbb {E} (X)\right)^{2}\right)}}$ , mais il est plus difficile à calculer en général, car la valeur absolue n'étant pas une fonction dérivable en tout point, le calcul ne peut pas se faire par des méthodes linéaires.

D'après l'inégalité de Jensen, l'écart moyen est inférieur ou égal à l'écart type.

Notes et références

↑ Ecart-moyen, Bibm@th.net

Articles connexes

Portail des probabilités et de la statistique

[1] Ecart-moyen, Bibm@th.net

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