Constante limite de Laplace

En mathématiques, la constante limite de Laplace, ou constante de Laplace ou encore limite de Laplace, est la valeur maximale de l'excentricité pour laquelle une solution à l'équation de Kepler, exprimée sous forme de série entière, converge.

Elle vaut environ : 0,662 743 (suite A033259 de l'OEIS).

Définition à partir de l'équation de Kepler

L'équation de Kepler $M=E-\varepsilon \sin E$ relie l'anomalie moyenne $M$ et l'anomalie excentrique $E$ pour un corps un mouvement sur une ellipse d'excentricité $\varepsilon$ . Cette équation ne peut être résolue en $E$ à l'aide de fonctions élémentaires, mais le théorème d'inversion de Lagrange apporte une solution série entière en $\varepsilon$ :

E=M+\sum _{n=1}^{\infty }(\sin ^{n}M)^{(n-1)}{\frac {\varepsilon ^{n}}{n!}}=M+\sin M\,\varepsilon +{\tfrac {1}{2}}\sin(2M)\,\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac {3}{8}}\sin(3M)-{\tfrac {1}{8}}\sin M\right)\varepsilon ^{3}+\cdots

.

Laplace a réalisé que cette série converge pour de petites valeurs de l'excentricité, mais diverge lorsque l'excentricité excède une certaine valeur. La constante limite de Laplace $L$ correspond à cette valeur^[1]^,^[2]^,^[3]. C'est le rayon de convergence de cette série entière.

D'après cette référence^[4], c'est la recherche de cette mystérieuse constante qui aurait poussé Cauchy à créer l'analyse complexe.

Équations dont la constante de Laplace est solution

Cauchy a montré que la constante $L$ est la valeur maximum de ${\frac {x}{\cosh x}}$ pour $x>0$ ^[5]. Cette valeur est obtenue pour $\coth x=x$ , cette dernière équation s'écrivant aussi $\mathrm {e} ^{2x}={\frac {x+1}{x-1}}$ .

Notant $L_{0}$ la solution de cette équation, $L_{0}=1,199\,678\dots$ ( A085984), on a donc $L={\frac {L_{0}}{\cosh L_{0}}}={\frac {1}{\sinh L_{0}}}={\frac {L_{0}+1}{e^{L_{0}}}}=(L_{0}-1){e^{L_{0}}}={\sqrt {L_{0}^{2}-1}}$ .

$L$ est aussi l'unique solution réelle de l'équation^[4] :

x\exp({\sqrt {1+x^{2}}})=1+{\sqrt {1+x^{2}}}

.

Démonstration

$L\mathrm {e} ^{L_{0}}=L_{0}+1$ , donné ci-dessus, d'où l'équation puisque $L_{0}={\sqrt {1+L^{2}}}$ .

Chainette avec tangente passant par l'origine, de pente $1/L$ .

Interprétations géométriques

Inverse de la pente d'une tangente à la chainette passant par l'origine

$L_{0}$ , solution de ${\frac {\cosh x}{x}}=\sinh x$ , est l'abscisse du point où la tangente à la chainette d'équation $y=\cosh x$ passe par l'origine, pour $x>0$ . Cette tangente a pour pente $\sinh L_{0}=1/L$ ( A240358). L'angle avec l'axe des x , $\alpha =\arctan {(1/L)}$ ( A345737), vaut environ 56,5°.

Angle de tir pour un tir de longueur maximale

L'angle précédent, $\arctan {(1/L)}\approx 56,5^{\circ }$ est aussi l'angle de tir au départ donnant une trajectoire de tir parabolique de longueur maximale^[6].

Démonstration

L'équation du tir est $y=x\tan \alpha \left(1-{\frac {x}{a\sin 2\alpha }}\right)$ où $a={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}$ , $v_{0}$ vitesse initiale, $\alpha$ angle de tir. La longueur du tir est alors $a(\sin \alpha +\cos ^{2}\alpha {\text{ arsinh}}(\tan \alpha ))$ . L'annulation de la dérivée s'obtient pour $\tan \alpha =\sinh(1/\sin \alpha )$ qui donne bien $\tan \alpha =1/L$ .

Chainette passant par le point de coordonnées $(r,h)$ .

Caténoïde s'appuyant sur deux anneaux circulaires

Caténoïdes s'appuyant sur deux anneaux parallèles.

Chercher les chainettes d'équation $x/a=\cosh(y/a)$ passant par le point $(r,h)$ , revient à résoudre $r/h={\frac {\cosh u}{u}}$ où $u=h/a$ . Il y a deux solutions pour $0<r/h<L$ , solution unique pour $r/h=L$ , et pas de solution pour $r/h>L$ .

Étant donné deux anneaux circulaires parallèles de rayons $r$ distants de $2h$ , la constante de Laplace $\approx 0,66$ est donc la valeur maximum du rapport $r/h$ pour l'existence de caténoïdes s'appuyant sur ces anneaux (solution au problème de Plateau). Pour $r/h=L$ la chainette méridienne est tangente aux diagonales du rectangle cadre (en bleu ci-contre), d'après la première propriété ci-dessus.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Laplace limit » (voir la liste des auteurs).

↑ P. S. de Laplace, Mécanique céleste, t. supplément au tome V, 1878-1904
↑ O. Callandreau, « Sur le développement des coordonnées elliptiques », Bulletin astronomique, Observatoire de Paris, n^o 3,‎ 1886, p. 528-532 (lire en ligne)
↑ V. Puiseux, « Sur la convergence des séries qui se présentent dans la théorie du mouvement elliptique des planètes », Journal de mathématiques pures et appliquées,1re série, vol. 14,‎ 1849, p. 33-39 (lire en ligne)
1 2 (en) Steven R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, 2003 (ISBN 978-0-521-81805-6, lire en ligne), p. 267
↑ Charles Hermite, Cours de M. Hermite rédigé en 1882 par M. Andoyer, 19ème leçon, Hermann, 1887 (lire en ligne), p. 170
↑ (en) Joshua Cooper, Anton Swifto, « Throwing a Ball as Far as Possible, Revisited », Arxiv,‎ 8 novembre 2016 (arXiv 1611.02376v1, lire en ligne)

Voir aussi

Bibliographie

(en) Howard Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students, Amsterdam/Boston, Elsevier, 2014 (ISBN 978-0-08-097747-8, lire en ligne), p. 159

Article connexe

Excentricité orbitale

Portail de l'analyse

[1] P. S. de Laplace, Mécanique céleste, t. supplément au tome V, 1878-1904

[2] O. Callandreau, « Sur le développement des coordonnées elliptiques », Bulletin astronomique, Observatoire de Paris, n^o 3,‎ 1886, p. 528-532 (lire en ligne)

[3] V. Puiseux, « Sur la convergence des séries qui se présentent dans la théorie du mouvement elliptique des planètes », Journal de mathématiques pures et appliquées,1re série, vol. 14,‎ 1849, p. 33-39 (lire en ligne)

[:03-4] 1 2 (en) Steven R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, 2003 (ISBN 978-0-521-81805-6, lire en ligne), p. 267

[5] Charles Hermite, Cours de M. Hermite rédigé en 1882 par M. Andoyer, 19ème leçon, Hermann, 1887 (lire en ligne), p. 170

[6] (en) Joshua Cooper, Anton Swifto, « Throwing a Ball as Far as Possible, Revisited », Arxiv,‎ 8 novembre 2016 (arXiv 1611.02376v1, lire en ligne)

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