Coordonnées de Rindler

Les coordonnées de Rindler sont un système de coordonnées d'espace-temps utilisé, en relativité restreinte, pour l'étude d'un observateur accéléré.

L'éponyme des coordonnées est le physicien autrichien Wolfgang Rindler (1924-2019) qui a publié, en 1966, une étude détaillée sur les observateurs uniformément accélérés^[1],[2]. Les coordonnées étaient connues, avant Rindler et avaient été utilisées par : Max Born^[3] (1882-1970) en 1909^[4] ; Albert Einstein^[1] (1879-1955) et Nathan Rosen^[1] (1909-1995) en 1935^[5] ; Christian Møller^[3] (1904-1980) en 1943^[6] et 1952.

En coordonnées de Rindler, la métrique de Minkowski de l'espace-temps plat de la relativité restreinte^[7] s'écrit^{[8],[9],[10],[11]} :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-a^{2}\rho ^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}+\mathrm {d} \rho ^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}}$,

où^[7] :

• ${\displaystyle a}$ est l'accélération de Rindler^[12] qui représente l'accélération uniforme de l'observateur,
• ${\displaystyle \tau ,\rho \,x,y}$ sont les quatre coordonnées :
  • ${\displaystyle \tau }$ est la coordonnée de temps,
  • ${\displaystyle \rho ,y,z}$ sont les trois coordonnées d'espace.

Elles sont reliées aux coordonnées standards ${\displaystyle (t,x,y,z)}$ par la transformation^[13],[11] : ${\displaystyle {\begin{cases}\tau ={\frac {1}{a}}\operatorname {artanh} ({\frac {t}{x}})\\\rho ={\sqrt {x^{2}-t^{2}}}\\y=y\\z=z\end{cases}}}$, et la transformation inverse^{[14],[15],[16]} : ${\displaystyle {\begin{cases}t=\rho \operatorname {cosh} (a\tau )\\x=\rho \operatorname {sinh} (a\tau )\\y=y\\z=z\end{cases}}}$.

En relativité générale, les coordonnées sont utilisées pour étudier le voisinage de l'horizon des événements d'un trou noir au moyen de l'approximation de Rindler^[17].

• [Born 1909] (de) Max Born, « Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips », Annalen der Physik, vol. 335, n^o 11,‎ 1909, p. 1-56 (DOI 10.1002/andp.19093351102, Bibcode 1909AnP...335....1B).
• [Einstein et Rosen 1935] (en) Albert Einstein et Nathan Rosen, « A particle problem in the general theory of relativity », Physical Review, vol. 48, n^o 1,‎ juillet 1935, p. 73-77 (DOI 10.1103/PhysRev.48.73, Bibcode 1935PhRv...48...73E).
• [Frolov et Zelnikov 2011] (en) Valeri P. Frolov et Andrei Zelnikov, Introduction to black hole physics [« Introduction à la physique des trous noirs »], Oxford, OUP, coll. « Oxford scholarship », septembre 2011 (réimpr. mars 2015), 1^re éd., XVI-488 p., 17,1 × 24,1 cm (ISBN 978-0-19-969229-3 et 978-0-19-872911-2, EAN 9780199692293, OCLC 800612795, DOI 10.1093/acprof:oso/9780199692293.001.0001, S2CID 125579832, SUDOC 155996665, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Gourgoulhon 2013] (en) Éric Gourgoulhon (trad. du français par l'auteur), Special relativity in general frames : from particles to astrophysics [« Relativité restreinte : des particules à l'astrophysique »] [« La relativité restreinte dans les référentiels quelconques : des particules à l'astrophysique »], Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « Graduate texts in physics », septembre 2013 (réimpr. août 2016), XXX-784 p., 15,88 × 23,5 cm (ISBN 978-3-642-37275-9 et 978-3-662-52083-3, EAN 9783642372759, OCLC 864435638, BNF 44706778, DOI 10.1007/978-3-642-37276-6, S2CID 123939054, SUDOC 174647638, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Grøn 2014] (en) Øyvind Grøn, « Electrodynamics of radiating charges in a gravitational field », dans Abhay Ashtekar et Vesselin Petkov (éd. et préf.), Springer handbook of spacetime [« Manuel Springer de l'espace-temps »], Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « Springer handbooks », juillet 2014, 1^re éd., XXVI-887 p., 18,54 × 24,64 cm (ISBN 978-3-642-41991-1, EAN 9783642419911, OCLC 894030364, DOI 10.1007/978-3-642-41992-8, Bibcode 2014shst.book.....A, S2CID 118297210, SUDOC 181485206, présentation en ligne, lire en ligne), partie B, chap. 9, p. 165-184.
• [Grumiller et Sheikh-Jabbari 2022] (en) Daniel Grumiller et Mohammad Mehdi Sheikh-Jabbari, Black hole physics : from collapse to evaporation [« La physique des trous noirs : de l'effondrement à l'évaporation »], Cham, Springer, coll. « Graduate texts in physics », novembre 2022 (réimpr. novembre 2023), 1^re éd., XXVIII-416 p., 15,88 × 23,5 cm (ISBN 978-3-031-10342-1 et 978-3-031-10345-2, EAN 9783031103421, OCLC 1322812525, DOI 10.1007/978-3-031-10343-8, S2CID 253372811, SUDOC 276871235, présentation en ligne, lire en ligne).
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• [MacDonald et al. 1986] (en) Douglas A. MacDonald, Richard H. Price, Wai-Mo Suen et Kip S. Thorne, « Nonrotating and slowly rotating holes », dans Kip S. Thorne, Richard H. Price et Douglas A. MacDonald (éd. et préf.), Black holes : the membrane paradigm [« Trous noirs : le paradigme de la membrane »], New Haven, YUP, hors coll., septembre 1986, 1^re éd., XII-367 p., 16,51 × 24,13 cm (ISBN 0-300-03769-4 et 0-300-03770-8, EAN 9780300037692, OCLC 13759977, Bibcode 1986bhmp.book.....T, S2CID 120067415, SUDOC 030353556), chap. II, p. 13-66.
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• [Rindler 1966] (en) Wolfgang Rindler, « Kruskal space and the uniformly accelerated frame » [« L'espace de Kuskal et le référentiel uniformément accéléré »], American Journal of Physics, vol. 34, n^o 12,‎ décembre 1966, p. 1174-1178 (OCLC 4660449156, DOI 10.1119/1.1972547, Bibcode 1966AmJPh..34.1174R, S2CID 120921972, lire en ligne [PDF]).

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