Coordonnées tripolaires

En géométrie, les coordonnées tripolaires sont un système de coordonnées du plan par rapport à un triangle donné. Les coordonnées tripolaires d'un point ${\displaystyle P}$ sont formées par le triplet de distances ${\displaystyle (AP,BP,CP)}$, mais les coordonnées tripolaires sont rarement utilisées^[1].

Leonhard Euler a montré la relation suivante entre les coordonnées tripolaires ${\displaystyle (f,g,h)}$ d'un point et les longueurs des côtés ${\displaystyle a,b}$ et ${\displaystyle c}$ :

${\displaystyle (-a^{2}+g^{2}+h^{2})^{2}f^{2}+(f^{2}-b^{2}+h^{2})^{2}g^{2}+(f^{2}+g^{2}+c^{2})^{2}h^{2}-(-a^{2}+g^{2}+h^{2})(f^{2}-b^{2}+h^{2})(f^{2}+g^{2}+c^{2})-4f^{2}g^{2}h^{2}=0}$

La courbe d'équation ${\displaystyle lf^{2}+mg^{2}+nh^{2}+p=0}$ est une droite si est seulement si${\displaystyle l+m+n=0}$, et sinon un cercle.

• Si l'équation est un cercle, alors le centre du cercle a pour coordonnées barycentriques ${\displaystyle (l:m:n)}$.
• Si l'équation est une droite, alors cette droite est perpendiculaire à la droite ${\displaystyle [\ l:m:n\ ]}$ en coordonnées barycentriques.

Le nombre de points qui ont des coordonnées tripolaires ${\displaystyle (f,g,h)}$, qui pour un point donné vérifient ${\displaystyle f:g:h=x:y:z}$, dépend des valeurs ${\displaystyle ax,by}$ et ${\displaystyle cz}$^[2] :

• si les valeurs forment un triangle, alors il y a deux de ces points ;
• si les valeurs forment un triangle dégénéré, alors il existe un tel point ;
• si elles ne forment pas les côtés d’un triangle, alors aucun point ne remplit la condition.

• (nl) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en néerlandais intitulé « Tripolaire coördinaten » (voir la liste des auteurs).

• (en) Eric W. Weisstein, « Tripolar Coordinates », sur MathWorld

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