Cotangente

La dérivée de la cotangente est :

${\displaystyle \cot 'x=-\csc ^{2}x}$.

Les primitives de la cotangente sont définies par :

${\displaystyle \int \cot x\,\mathrm {d} x=\ln(\sin x)+C}$.

On a le développement en série de Laurent, où ${\displaystyle B_{k}}$ désigne le ${\displaystyle k}$^e nombre de Bernoulli

${\displaystyle \cot x=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}}$,

mais aussi :

${\displaystyle \pi \cot(\pi x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n}}}$,

dont on déduit :

${\displaystyle \cot(x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n\pi }}}$.