Distance entre deux points sur le plan cartésien

Dans le plan cartésien, les points sont définis à l'aide de leurs coordonnées cartésiennes.

Soient ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ deux points dans le plan cartésien, ${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$ les coordonnées du point ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$ les coordonnées du point ${\displaystyle B}$. Alors la distance ${\displaystyle AB}$ sur le plan vaut :

${\displaystyle AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}.}$

Soit ${\displaystyle C}$ le point de coordonnées ${\displaystyle (x_{A},y_{B})}$.

${\displaystyle x_{A}=x_{C}\Rightarrow AC=|y_{C}-y_{A}|}$ et ${\displaystyle (AC)}$ est verticale ;

${\displaystyle y_{B}=y_{C}\Rightarrow BC=|x_{C}-x_{B}|}$ et ${\displaystyle (BC)}$ est horizontale ;

donc ${\displaystyle (AC)\perp (BC)}$.

D'après le théorème de Pythagore,

${\displaystyle {\begin{aligned}AB^{2}&=BC^{2}+AC^{2}\\&=|x_{C}-x_{B}|^{2}+|y_{C}-y_{A}|^{2}\\&=|x_{A}-x_{B}|^{2}+|y_{B}-y_{A}|^{2}\\&=(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}\end{aligned}}}$

donc

${\displaystyle AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}.}$

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