Fonction maximale de Hardy-Littlewood

Il suffit de montrer que chacune des fonctions

${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}\int _{B(x,r)}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)}$

(pour r > 0 fixé) est semi-continue inférieurement, autrement dit, que

${\displaystyle x\mapsto \int _{B(x,r)}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)=\int 1_{B(x,r)}(t)|f(t)|\,\mathrm {d} \lambda _{n}(t)}$

l'est.

Or cette application est même continue, par convergence dominée.

• Première inégalité.
  Quitte à passer ensuite à la limite quand d → c^–, il suffit de montrer que${\displaystyle \forall d>0,\lambda _{n}\left([Mf>d]\right)\leq 3^{n}\|f\|_{1}/d}$et pour cela, par régularité intérieure, de montrer que pour tout compact K inclus dans [Mf > d],${\displaystyle \lambda _{n}(K)\leq 3^{n}\|f\|_{1}/d.}$Pour tout point x de K, il existe un rayon r_x > 0 tel que${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r_{x})\right)}}\int _{B(x,r_{x})}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)>d.}$Par compacité, K est recouvert par un nombre fini de telles boules et l'on peut, d'après le lemme de recouvrement de Vitali dans le cas fini, choisir parmi elles des boules ${\displaystyle \left(B(x,r_{x})\right)_{x\in X}}$ disjointes telles que${\displaystyle K\subset \bigcup _{x\in X}B(x,3r_{x}).}$On a alors :${\displaystyle \lambda _{n}\left(K\right)\leq \lambda _{n}\left(\bigcup _{x\in X}B(x,3r_{x})\right)\leq \sum _{x\in X}\lambda _{n}\left(B(x,3r_{x})\right)=3^{n}\sum _{x\in X}\lambda _{n}\left(B(x,r_{x})\right)\leq {\frac {3^{n}}{d}}\sum _{x\in X}\int _{B(x,r_{x})}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{1}}{d}}}$car les boules sont disjointes.
• Deuxième inégalité.
  En procédant comme pour la première, il suffit de montrer que pour tout d > 0 et tout compact K inclus dans [ G > d ],${\displaystyle \lambda (K)\leq 2(F(b)-F(a))/d.}$Pour tout point x de K, il existe un réel h_x non nul tel que${\displaystyle {\frac {F(x+h_{x})-F(x)}{h_{x}}}>d.}$Notons alors, pour ε > 0 fixé, J_x l'intervalle fermé d'extrémités x + h_x et x – εh_x (choisi ainsi pour qu'il contienne x + h_x et soit un voisinage de x).
  Par compacité, K est recouvert par une famille finie ${\displaystyle (J_{x})_{x\in X}}$ et l'on peut même, en enlevant des J_x superflus, supposer qu'un point n'appartient jamais à plus de deux d'entre eux (car si trois intervalles ont un point commun, l'un des trois est inclus dans la réunion des deux autres). On a alors :${\displaystyle \lambda (K)\leq \sum _{x\in X}\lambda (J_{x})=(1+\varepsilon )\sum _{x\in X}|h_{x}|\leq {\frac {1+\varepsilon }{d}}\sum _{x\in X}|F(x+h_{x})-F(x)|\leq {\frac {1+\varepsilon }{d}}2(F(b)-F(a)),}$la dernière inégalité étant due à la croissance de F et au fait que les J_x se chevauchent au plus par deux. Ainsi,${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\lambda (K)\leq 2(1+\varepsilon )(F(b)-F(a))/d\quad {\text{donc}}\quad \lambda (K)\leq 2(F(b)-F(a))/d.}$
• La troisième inégalité peut se démontrer à l'aide du lemme du soleil levant^[3] et se généraliser en utilisant le théorème de recouvrement de Vitali^[4].