Un H-espace est constitué d'un espace topologiqueX, ainsi que d'un élément e de X et d'une application continueμ: X × X → X, tel que μ(e, e) = e et les applications x ↦ μ(x, e) et x ↦ μ(e, x) sont toutes les deux homotopes à l'application identité relativement à e[2]. Cet espace peut être considéré comme un espace topologique pointé avec une multiplication continue pour laquelle le point de base est un élément d'identité homotopie[Quoi ?], à homotopie près préservant le point de base.
On dit qu'un espace topologique X est un H-espace s'il existe e et μ tels que le triplet (X, e, μ) est un H-espace comme dans la définition ci-dessus[3]. Alternativement, un H-espace peut être défini sans imposer que le point base e soit fixé par les homotopies, ou en exigeant que e soit l'identité, sans aucune considération homotopique[4]. Dans le cas d'un CW-complexe, ces trois définitions sont en fait équivalentes[5].
Exemples et propriétés
La définition standard du groupe fondamental, ainsi que le fait qu'il s'agit d'un groupe, peut être reformulée en disant que l'espace des lacets d'un espace topologique pointé a la structure d'un H-groupe, équipé des opérations standard de concaténation et d'inversion[6]. De plus, une application continue préservant les points de base de l'espace topologique pointé induit un H-morphisme des espaces de lacets correspondants; cela reflète le morphisme de groupes sur les groupes fondamentaux induit par une application continue[6].
Il est immédiat de vérifier que, étant donné une équivalence d'homotopie pointée d'un H-espace à un espace topologique pointé, il existe une structure naturelle de H-espace sur ce dernier[7]. Ainsi, l'existence d'une structure de H-espace sur un espace donné ne dépend que de son type d'homotopie pointée.
Soit X un H-espace d'identité e et soit f et g des lacets en e. Définissons une application F: [0,1] × [0,1] → X par F(a, b) = f(a) g(b). Alors F (a ,0) = F (a ,1) = f (a)e est homotope à f, et F (0, b) = F (1, b) = eg(b) est homotope à g. Il est facile de définir une homotopie de [ f ][ g ] à [ g ][ f ].
Le théorème d'Adams, du nom de Frank Adams, stipule que S0, S1, S3, S7 sont les seules sphères qui sont des H-espaces. Chacun de ces espaces forme un H-espace en le considérant comme le sous-ensemble d'éléments de norme 1 des réels, complexes, quaternions et octonions, respectivement, et en utilisant les opérations de multiplication de ces algèbres. En fait, S0, S1 et S3 sont des groupes (groupes de Lie) avec ces multiplications. Mais S7 n'est pas un groupe de cette manière parce que la multiplication des octonions n'est pas associative, et on ne peut lui donner aucune autre multiplication continue pour laquelle c'est un groupe.
Références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé «H space» (voir la liste des auteurs).
Texte à traduirePortion de texte anglais à traduire en français
Texte anglais à traduire:
The H in H-space was suggested by Jean-Pierre Serre in recognition of the influence exerted on the subject by Heinz Hopf (see J. R. Hubbuck, «A Short History of H-spaces», History of Topology, 1999, p.747-755).
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