Lemniscate de Gerono

La lemniscate de Gerono est une courbe plane, qui a été étudiée par Grégoire de Saint-Vincent en 1647 puis par Gabriel Cramer en 1750.

Paramétrisation cartésienne :  ${\displaystyle {\begin{cases}x=a\,\sin t\\y=a\,\sin t\,\cos t\end{cases}}\quad (\cos t=\tan \theta ),}$  où ${\displaystyle \theta }$ désigne l'angle polaire.

Équation algébrique :  ${\displaystyle x^{4}=a^{2}\,(x^{2}-y^{2})}$   ou   ${\displaystyle a\,y=\pm x\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}.}$

Équation polaire :  ${\displaystyle \rho ^{2}=a^{2}\,{\frac {\cos 2\theta }{\cos ^{4}\theta }},}$  où  ${\displaystyle \rho }$  désigne la distance radiale.

La longueur de la courbe vaut

${\displaystyle s=\left[4{\sqrt[{4}]{2}}\left(E(k)-K(k)\right)+{\frac {(3+2{\sqrt {2}}){\sqrt[{4}]{8}}}{2}}\Pi \left({\frac {4-3{\sqrt {2}}}{8}},k\right)\right]a}$

où K, E et Π désignent respectivement les intégrales elliptiques complètes de 1^re, 2^e et 3^e espèce, pour ${\textstyle k={\frac {\sqrt {2+4{\sqrt {2}}}}{4}}.}$

Son aire totale est de  ${\displaystyle {\frac {4}{3}}a^{2}.}$

La lemniscate de Gerono est un cas particulier de besace.