Nombre décagonal

En mathématiques, un nombre décagonal est un nombre figuré polygonal qui peut être représenté graphiquement par des points répartis dans un décagone. Le nombre décagonal d'ordre ${\displaystyle n}$ est donné par la formule ^[1],[2] :

${\displaystyle D_{n}=n(4n-3).}$.

Les onze premiers nombres décagonaux sont : 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370, 451 (suite A001107 de l'OEIS).

Avec ${\displaystyle n}$ points sur chaque côté du polygone extérieur, on ajoute à l'étape ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle 10-1}$ points sur les sommets et ${\displaystyle (10-2)(n-2)}$ points à l'intérieur des côtés, d'où ${\displaystyle D_{n}-D_{n-1}=9+8(n-2)=8(n-1)+1}$.

Donc ${\displaystyle D_{n}=\sum _{k=1}^{n}(8(k-1)+1)=\sum _{k=0}^{n-1}(8k+1)=4n(n-1)+n=n(4n-3)}$.

• ${\displaystyle D_{n}}$ est la somme du nombre carré d'ordre ${\displaystyle n}$ et de six fois le nombre triangulaire d'ordre ${\displaystyle n}$, autrement dit, ${\displaystyle D_{n}=C_{n}+6T_{n-1}=n^{2}+3n(n-1)}$ .
• ${\displaystyle D_{n}}$ est la somme du nombre pentagonal d'ordre ${\displaystyle n}$ et de cinq nombres triangulaires d'ordre ${\displaystyle n-1}$ : ${\displaystyle D_{n}=P_{n}+5T_{n-1}={\frac {n(3n-1)}{2}}+{\frac {5n(n-1)}{2}}}$.

• ${\displaystyle D_{n}=n+8T_{n-1}=n+4n(n-1)}$ est congru à ${\displaystyle n}$ modulo 8 et a donc même parité que lui.

• D'après le théorème des nombres polygonaux de Fermat, tout entier naturel est la somme d'au plus 10 nombres décagonaux.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Decagonal number » (voir la liste des auteurs).
• (en) Eric W. Weisstein, « Decagonal Number », sur MathWorld
  1. ↑ (en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, vol. 131, n^o 1,‎ 2002, p. 66 (lire en ligne)
  2. ↑ (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 6

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