Nombre duel déployé

Les nombres duels déployés forment un ensemble noté ${\displaystyle \mathbb {D} }$ qui étend l'ensemble des nombres réels ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Cet ensemble contient deux unités particulières :

• l’unité déployée ${\displaystyle j}$, vérifiant ${\displaystyle j^{2}=1}$ avec ${\displaystyle j\neq \pm 1}$,
• et l’unité duel ${\displaystyle \varepsilon }$, telle que ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$ et ${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$.

Un nombre duel déployé ${\displaystyle \omega \in \mathbb {D} }$ s’écrit de manière unique sous la forme :

${\displaystyle \omega =a+bj+c\varepsilon +dj\varepsilon }$,

où ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$.

L’ensemble ${\displaystyle \mathbb {C} }$ est muni de l’addition et de la multiplication, définies comme dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et compatibles avec les règles sur ${\displaystyle j}$ et ${\displaystyle \varepsilon }$.

On appelle cette écriture la forme algébrique de ${\displaystyle \omega }$ :

• ${\displaystyle a}$ : partie réelle, notée ${\displaystyle \operatorname {Re} (\omega )}$
• ${\displaystyle b}$ : partie déployée, notée ${\displaystyle \operatorname {De} (\omega )}$
• ${\displaystyle c}$ : partie duelle, notée ${\displaystyle \operatorname {Du} (\omega )}$
• ${\displaystyle d}$ : partie duel déployée, notée ${\displaystyle \operatorname {Dd} (\omega )}$

• Si ${\displaystyle \operatorname {De} (\omega )=\operatorname {Du} (\omega )=\operatorname {Dd} (\omega )=0}$, alors ${\displaystyle \omega }$ est un réel.
• Si ${\displaystyle \operatorname {Re} (\omega )=\operatorname {Du} (\omega )=\operatorname {Dd} (\omega )=0}$, alors ${\displaystyle \omega }$ est un déployé pur.
• Si ${\displaystyle \operatorname {Re} (\omega )=\operatorname {De} (\omega )=\operatorname {Dd} (\omega )=0}$, alors ${\displaystyle \omega }$ est un duel pur.
• Si ${\displaystyle \operatorname {Re} (\omega )=\operatorname {De} (\omega )=\operatorname {Du} (\omega )=0}$, alors ${\displaystyle \omega }$ est un duel déployé pur.

Le nombre ${\displaystyle 0}$ est le seul nombre duel déployé à être à la fois réel, déployé pur, duel pur et duel déployé pur.

Deux nombres duels déployés ${\displaystyle \omega _{1}}$ et ${\displaystyle \omega _{2}}$ sont égaux si et seulement si leurs parties correspondantes sont égales :

${\displaystyle \omega _{1}=\omega _{2}\iff a_{1}=a_{2},\;b_{1}=b_{2},\;c_{1}=c_{2},\;d_{1}=d_{2}}$

Un nombre duel déployé est nul si ses quatre composantes sont nulles :

${\displaystyle \omega =0\iff \operatorname {Re} (\omega )=\operatorname {De} (\omega )=\operatorname {Du} (\omega )=\operatorname {Dd} (\omega )=0}$

• Conjugué déployé :

${\displaystyle \omega ^{\dagger _{1}}=a-bj+c\varepsilon -dj\varepsilon }$

• Conjugué duel :

${\displaystyle \omega ^{\dagger _{2}}=a+bj-c\varepsilon -dj\varepsilon }$

• Conjugué couplé :

${\displaystyle \omega ^{\dagger _{3}}=a-bj-c\varepsilon +dj\varepsilon }$

• Somme :

${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})j+(c_{1}+c_{2})\varepsilon +(d_{1}+d_{2})j\varepsilon }$

• Multiplication par un réel ${\displaystyle k}$ :

${\displaystyle k\cdot \omega =ka+kbj+kc\varepsilon +kdj\varepsilon }$

• Produit de deux duels déployés :

${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}+b_{1}j+c_{1}\varepsilon +d_{1}j\varepsilon )(a_{2}+b_{2}j+c_{2}\varepsilon +d_{2}j\varepsilon )={}&(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})j\\&+(a_{1}c_{2}+a_{2}c_{1}+b_{1}d_{2}+b_{2}d_{1})\varepsilon \\&+(a_{1}d_{2}+a_{2}d_{1}+b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1})j\varepsilon \end{aligned}}}$

• Opposé :

${\displaystyle -\omega =-a-bj-c\varepsilon -dj\varepsilon }$

• Inverse :

Soit ${\displaystyle \omega =a+bj+c\varepsilon +dj\varepsilon }$, avec ${\displaystyle a^{2}\neq b^{2}}$.

On a :

${\displaystyle \omega ^{-1}={\frac {\omega ^{\dagger _{3}}}{\omega \cdot \omega ^{\dagger _{3}}}}={\frac {a-bj-c\varepsilon +dj\varepsilon }{(a^{2}-b^{2})+(2ad-2bc)j\varepsilon }}}$

En multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué de ${\displaystyle (a^{2}-b^{2})+(2ad-2bc)j\varepsilon }$, on obtient :

${\displaystyle \omega ^{-1}={\frac {(a-bj-c\varepsilon +dj\varepsilon )((a^{2}-b^{2})-(2ad-2bc)j\varepsilon )}{(a^{2}-b^{2})^{2}}}}$

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