Polynôme de Bessel

Un polynôme de Bessel peut aussi être défini à partir des fonctions de Bessel, dont les polynômes tirent leur nom :

${\displaystyle y_{n}(x)=\,x^{n}\theta _{n}\left({\frac {1}{x}}\right)\,}$

${\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,\mathrm {e} ^{1/x}K_{n+{\frac {1}{2}}}\left({\frac {1}{x}}\right)}$

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,x^{n+1/2}\mathrm {e} ^{x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}$

où K_n(x) est une fonction de Bessel modifiée de deuxième espèce^[2]:7,34. Par exemple^[4]:

${\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,\mathrm {e} ^{1/x}K_{3+{\frac {1}{2}}}\left({\frac {1}{x}}\right)}$

Un polynôme de Bessel peut aussi être défini comme une fonction hypergéométrique confluente^[5]:

${\displaystyle y_{n}(x)=\,_{2}F_{0}(-n,n+1;;-x/2)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{-n}U\left(-n,-2n,{\frac {2}{x}}\right)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1}U\left(n+1,2n+2,{\frac {2}{x}}\right).}$

On retrouve une expression similaire pour les polynômes de Bessel généralités (cf. infra)^[2]:35:

${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )=\,_{2}F_{0}(-n,n+a-1;;-x/b)=\left({\frac {b}{x}}\right)^{n+a-1}U\left(n+a-1,2n+a,{\frac {b}{x}}\right).}$

Les polynômes de Bessel inverses peuvent s'exprimer à partir des polynômes de Laguerre généralisés :

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {n!}{(-2)^{n}}}\,L_{n}^{-2n-1}(2x)}$

dont on tire une expression sous forme de fonction hypergéométrique :

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {(-2n)_{n}}{(-2)^{n}}}\,\,_{1}F_{1}(-n;-2n;2x)}$

avec (−2n)_n pour le symbole de Pochhammer.

L'inversion pour les monômes s'écrit

${\displaystyle {\frac {(2x)^{n}}{n!}}=(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n}{\frac {n+1}{j+1}}{j+1 \choose n-j}L_{j}^{-2j-1}(2x)={\frac {2^{n}}{n!}}\sum _{i=0}^{n}i!(2i+1){2n+1 \choose n-i}x^{i}L_{i}^{(-2i-1)}\left({\frac {1}{x}}\right).}$

Les polynômes de Bessel, avec un décalage d'indice, ont pour fonction génératrice

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}x^{n+{\frac {1}{2}}}\mathrm {e} ^{x}K_{n-{\frac {1}{2}}}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=1+x\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=\exp \left(x(1-{\sqrt {1-2t}})\right).}$

En dérivant selon t et en annulant x, on obtient la fonction génératrice pour les polynômes ${\displaystyle \left(\theta _{n}\right)_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\theta _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{\sqrt {1-2t}}}\mathrm {e} ^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}$

Une fonction génératrice similaire existe pour les ${\displaystyle \left(y_{n}\right)_{n\geq 0}}$^[1]:106:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=\exp \left({\frac {1-{\sqrt {1-2xt}}}{x}}\right).}$

En posant t = z-xz²/2, on trouve l'expression de la fonction exponentielle :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {(z-xz^{2}/2)^{n}}{n!}}.}$

Une définition utilisée plus couramment pour le calcul des valeurs des polynômes de Bessel est la formule de récurrence :

${\displaystyle y_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle y_{1}(x)=x+1\,}$

${\displaystyle y_{n}(x)=(2n\!-\!1)x\,y_{n-1}(x)+y_{n-2}(x)\,}$

et

${\displaystyle \theta _{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle \theta _{1}(x)=x+1\,}$

${\displaystyle \theta _{n}(x)=(2n\!-\!1)\theta _{n-1}(x)+x^{2}\theta _{n-2}(x)\,}$

Les polynômes de Bessel sont les solutions polynomiales de l'équation différentielle :

${\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}(x)+2(x\!+\!1){\frac {\mathrm {d} y_{n}(x)}{\mathrm {d} x}}-n(n+1)y_{n}(x)=0}$

et

${\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta _{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}(x)-2(x\!+\!n){\frac {\mathrm {d} \theta _{n}(x)}{\mathrm {d} x}}+2n\,\theta _{n}(x)=0}$

Les polynômes de Bessel sont orthogonaux pour le poids e^-2/x sur le cercle unité du plan complexe^[1] : avec le symbole de Kronecker :

${\displaystyle \forall (n,m)\in \mathbb {N} ^{2},\ n\neq m\Longrightarrow \int _{0}^{2\pi }y_{n}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)y_{m}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)\mathrm {i} \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\mathrm {d} \theta =0}$

Une généralisation des polynômes de Bessel ont été suggérés dans la littérature scientifique (Krall, Fink), comme suit :

${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta ):=(-1)^{n}n!\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{n}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}\left({\frac {\beta }{x}}\right),}$

ce qui donne une généralisation des polynômes inverses avec :

${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta ):={\frac {n!}{(-\beta )^{n}}}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}(\beta x)=x^{n}y_{n}\left({\frac {1}{x}};\alpha ,\beta \right).}$

Les coefficients explicites des polynômes y_n(x ; α , β) sont^[1]:108:

${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n+k+\alpha -2)^{\underline {k}}\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{k}.}$

Par conséquent, les polynômes θ_n(x ; α , β) peuvent être explicitement écrits ainsi :

${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(2n-k+\alpha -2)^{\underline {n-k}}{\frac {x^{k}}{\beta ^{n-k}}}.}$

Avec la fonction poids

${\displaystyle \rho (x;\alpha ,\beta ):=\,_{1}F_{1}\left(1,\alpha -1,-{\frac {\beta }{x}}\right)}$

on retrouve l'orthogonalité :

${\displaystyle \forall n\neq m,\oint _{c}\rho (z;\alpha ,\beta )y_{n}(z;\alpha ,\beta )y_{m}(z;\alpha ,\beta )\mathrm {d} z=0}$

avec C une courbe passant autour de l'origine.

On retrouve les polynômes de Bessel pour α = β = 2, et on obtient bien la fonction poids vue au-dessus ρ(x) = exp(−2 / x).

La formule de Rodrigues pour les polynômes de Bessel comme solutions particulières des équations différentielles donnent :

${\displaystyle B_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha }\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(x^{\alpha +2n}\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}\right)}$

où a(α, β)
n sont des coefficients de normalisation.

Selon cette généralisation, on trouve l'équation différentielle généralisée pour les polynômes de Bessel généralisés :

${\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+[(\alpha +2)x+\beta ]{\frac {\mathrm {d} B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{\mathrm {d} x}}-\left[n(\alpha +n+1)+{\frac {m\beta }{x}}\right]B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0}$

avec ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$. Les solutions sont :

${\displaystyle B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha +m}\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-m}}{\mathrm {d} x^{n-m}}}\left(x^{\alpha +2n}\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}\right).}$