Polynôme de Shapiro

En analyse de Fourier, les polynômes de Shapiro, étudiés par Harold S. Shapiro en 1951 dans l'étude de l'amplitude des polynômes trigonométriques^[1], sont des polynômes ${\displaystyle P_{n}(z)}$ et ${\displaystyle Q_{n}(z)}$ définis par la relation de récurrence :

${\displaystyle P_{0}(z)=Q_{0}(z)=1}$

${\displaystyle P_{n+1}(z)=P_{n}(z)+z^{2^{n}}Q_{n}(z)}$

${\displaystyle Q_{n+1}(z)=P_{n}(z)-z^{2^{n}}Q_{n}(z)}$

Ces polynômes vérifient la propriété :

${\displaystyle |P_{n}(z)|^{2}+|Q_{n}(z)|^{2}=2^{n+1}}$

pour z sur le cercle unité.

Ces polynômes ont des applications en traitement du signal pour leurs bonnes propriétés d'autocorrélation et leurs valeurs petites sur le cercle unité^[2].

Les premiers polynômes de Shapiro sont :

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(x)&{}=1+x\\P_{2}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}\\P_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}+x^{4}+x^{5}-x^{6}+x^{7}\\...\\Q_{1}(x)&{}=1-x\\Q_{2}(x)&{}=1+x-x^{2}+x^{3}\\Q_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}-x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{7}\\...\\\end{aligned}}}$

On peut également définir les polynômes de Shapiro par la suite de Rudin-Shapiro : pour ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, alors :

${\displaystyle P_{n}(z)=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{k}z^{k},\ Q_{n}(z)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{k}z^{2^{n}-1-k}=(-1)^{n}z^{2^{n}-1}P_{n}({\frac {1}{z}})}$

• Suite de Rudin-Shapiro
• Polynôme de Littlewood

• Portail de l'analyse