Préordre de spécialisation

Sur un espace topologique $X$ , on peut construire un préordre $\preceq$ appelé préordre de spécialisation et défini ainsi^[1] : pour $x$ et $y$ dans $X$ ,

x\preceq y\quad {\text{si}}\quad x\in {\overline {\{y\}}}

.

(où ${\overline {\;{\vphantom {?}}\cdot \;}}$ dénote l'adhérence d'un ensemble).

La justification que cette relation binaire est bien un préordre est donnée plus bas.

C'est une notion utile dans l'étude des axiomes de séparation, typiquement pour les espaces T₀. Mais notons que pour un espace T₁, cette notion perd son intérêt : la relation en question n'est alors autre que la relation d'égalité...

Autre définition

La relation binaire de l'énoncé est équivalente à celle-ci :

\forall x,y\in X,\quad \left(x\preceq y\iff {\overline {\{x\}}}\subset {\overline {\{y\}}}\right)

Démonstration

Soit $x,y\in X$ .
( $\Leftarrow$ ) : On a $x\in \{x\}\subset {\overline {\{x\}}}\subset {\overline {\{y\}}}$ . Donc on a $x\in {\overline {\{y\}}}$ , et donc $x\preceq y$ .

( $\Rightarrow$ ) : Soit $z\in {\overline {\{x\}}}$ . Supposons $z\notin {\overline {\{y\}}}$ . Alors posons $E=X\setminus {\overline {\{y\}}}$ .

$E$ est un voisinage de $z$ . En effet, $E$ est ouvert (comme complémentaire d'un fermé), et il contient trivialement $z$ .

On a $x\notin E$ . En effet, on a par hypothèse $x\preceq y$ (et donc $x\in {\overline {\{y\}}}$ ).

On a donc construit un voisinage de $z$ ne contenant pas $x$ , absurde puisqu'on a pris $z$ dans ${\overline {\{x\}}}$ .

Cette caractérisation entraîne immédiatement que la relation $\preceq$ est un préordre (c'est-à-dire qu'elle est réflexive et transitive).

Notes et références

↑ Alexandre Grothendieck, « Éléments de géométrie algébrique, I : le langage des schémas », Publications mathématiques de l'IHÉS, Institut des hautes études scientifiques, t. 4,‎ 1960, p. 5-228 (lire en ligne, consulté le 9 mai 2025).

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Articles connexes

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[1] Alexandre Grothendieck, « Éléments de géométrie algébrique, I : le langage des schémas », Publications mathématiques de l'IHÉS, Institut des hautes études scientifiques, t. 4,‎ 1960, p. 5-228 (lire en ligne, consulté le 9 mai 2025).

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