Variété de Prym
Une variété de Prym est une construction en géométrie algébrique nommée d'après Friedrich Prym.
Définition
En mathématiques, la construction de variété de Prym (nommée d'après Friedrich Prym) est une méthode en géométrie algébrique permettant de construire une variété abélienne à partir d'un morphisme de courbes algébriques. Dans sa forme originale, elle s'appliquait à un revêtement double non ramifié d'une surface de Riemann, et fut utilisée par F. Schottky et H. W. E. Jung en relation avec le problème de Schottky. Ce problème s'intéresse à caractériser les variétés jacobiennes parmi les variétés abéliennes. Cette construction est apparaît d'abord dans les derniers travaux de Riemann, et fut étudiée de manière approfondie par Wirtinger en 1895.
Construction
Soit un morphisme non constant : φ: C₁ → C₂ de courbes algébriques. Notons Jᵢ la variété jacobienne de Cᵢ. À partir de φ, on construit le morphisme correspondant : ψ: J₁ → J₂, qui peut être défini sur une classe de diviseurs D de degré zéro en appliquant φ à chaque point du diviseur. Il s'agit d'un morphisme bien défini, souvent appelé l'homomorphisme de norme.
La variété de Prym de φ est alors le noyau de ψ. Plus précisément, pour obtenir une variété abélienne, on considère la composante connexe de l'identité du schéma réduit sous-jacent au noyau. En d'autres termes, on prend la plus grande sous-variété abélienne de J₁ sur laquelle ψ est trivial.
Histoire et applications
La théorie des variétés de Prym resta longtemps à l'arrêt, jusqu'à ce qu'elle soit relancée par David Mumford vers 1970. Elle joue maintenant un rôle substantiel dans certaines théories contemporaines, par exemple celle de l'équation de Kadomtsev-Petviashvili.
Un avantage de cette méthode est qu'elle permet d'appliquer la théorie des courbes à l'étude d'une classe plus large de variétés abéliennes que les jacobiennes. Par exemple, les variétés abéliennes principalement polarisées (v.a.p.p.) de dimension > 3 ne sont généralement pas des jacobiennes, mais toutes les v.a.p.p. de dimension 5 ou moins sont des variétés de Prym. Pour cette raison, les v.a.p.p. sont assez bien comprises jusqu'en dimension 5.
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prym variety » (voir la liste des auteurs).
- Christina Birkenhake et Herbert Lange, Complex Abelian Varieties : Prym varieties, New York, Springer-Verlag, , 363-410 p. (ISBN 3-540-20488-1)
- David Mumford, « Prym varieties. I », Contributions to analysis (a collection of papers dedicated to Lipman Bers), Boston, MA, Academic Press, , p. 325-350 (ISBN 978-0-12-044850-0)
Articles connexes
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