Groupe de Valentiner

En mathématiques, le groupe de Valentiner est l'extension centrale d'ordre trois parfaite du groupe alterné sur 6 points ; c'est un groupe d'ordre 1080. Il a été mis en évidence par Herman Valentiner en 1889^[1] sous la forme d'une action de A₆ sur le plan projectif complexe, et a été étudié plus avant par (Wiman 1896).

Tous les groupes alternés ont des extensions centrales d'ordre deux parfaites. Dans la plupart des cas, il s’agit de l'extension centrale universelle. Les deux exceptions sont A₆, dont l'extension centrale triple parfaite est le groupe de Valentiner, et A₇, et dans les deux cas les extensions centrales universelles ont des centres d'ordre 6.

• Le groupe alterné A₆ agit sur le plan projectif complexe et Francesco Gerbaldi a montré que le groupe agit sur les 6 coniques du théorème éponyme^[2]. Cela donne un morphisme de A₆ vers PGL₃(C), dont le relèvement à SL₃(C) est le groupe de Valentiner. Cette injection est définie sur le corps cyclotomique engendré par les racines quinzièmes de l'unité, Q[ζ₁₅].
• Le produit du groupe de Valentiner par un groupe d'ordre 2 est un groupe de réflexions complexe de dimension 3 et d'ordre 2160, engendré par 45 réflexions complexes d'ordre 2 (numéro 27 dans la liste des groupes exceptionnels de Shephard-Todd). Les invariants de ce groupe forment une algèbre de polynômes engendrée par des générateurs de degrés 6, 12 et 30.
• Le groupe de Valentiner a des représentations fidèles irréductibles complexes de dimensions 3, 3, 3, 3, 6, 6, 9, 9, 15, 15.
• Le groupe de Valentiner peut être réalisé comme le groupe des symétries de l'hexacode. L'hexacode est le sous-espace de dimension 3 de F₄ engendré par (001111), (111100) et (0101ωω), où les éléments du corps fini F₄ sont 0, 1, ω, ω. Une symétrie d'un code est une matrice monomiale (matrice inversible ayant exactement un coefficient non nul par ligne et par colonne) qui stabilise le sous-espace.
• Le groupe PGL₃(F₄) agit sur le plan projectif sur F₄ et agit transitivement sur ses hyperovales (ensembles de 6 points ne contenant pas trois points alignés). Le stabilisateur d'un hyperovale est une copie du groupe alterné A₆. Le relèvement de celui-ci à l'extension centrale GL₃(F₄) de PGL₃(F₄) est le groupe de Valentiner.
• (Crespo et Hajto 2005) ont décrit les représentations du groupe de Valentiner en tant que groupe de Galois et ont donné une équation différentielle d'ordre 3 dont le groupe de Valentiner est le groupe de Galois différentiel.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Valentiner group » (voir la liste des auteurs).

• Arthur B. Coble, « The reduction of the sextic equation to the Valentiner form-problem », Mathematische Annalen, vol. 70, n^o 3,‎ 1911, p. 337-350 (ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/BF01564501, S2CID 121661301, lire en ligne)
• Scott Crass, « Solving the sextic by iteration: a study in complex geometry and dynamics », Experimental Mathematics, vol. 8, n^o 3,‎ 1999, p. 209-240 (ISSN 1058-6458, DOI 10.1080/10586458.1999.10504401, MR 1724156, arXiv math/9903111, S2CID 13917656, lire en ligne)
• Teresa Crespo et Zbigniew Hajto, « The Valentiner group as Galois group », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 133, n^o 1,‎ 2005, p. 51-56 (ISSN 0002-9939, DOI 10.1090/S0002-9939-04-07539-2 , MR 2085152, hdl 2445/7742 )
• Francesco Gerbaldi, « Sul gruppo semplice di 360 collineazioni piane », Mathematische Annalen, vol. 50, n^os 2–3,‎ 1898, p. 473-476 (ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/BF01448080, S2CID 119623323, lire en ligne)
• (da) H. Valentiner, « De endelige Transformations-gruppers Theori », Videnkabernes Selskabs Skrifter, vol. 6,‎ 1889 (lire en ligne)
• A. Wiman, « Ueber eine einfache Gruppe von 360 ebenen Collineationen », Mathematische Annalen, vol. 47, n^o 4,‎ 1896, p. 531-556 (ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/BF01445800, S2CID 121668720, JFM 27.0103.03, lire en ligne)

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