Racine carrée de cinq

Graphique montrant les différentes racines carrées se trouvant dans la vesica piscis.

En mathématiques, la racine carrée de cinq, notée √5 ou 5^1/2, est un nombre réel remarquable ; c'est l'unique réel positif dont le carré est égal à 5. Il vaut approximativement 2,236.

C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).

Éléments introductifs

Définition, notation et prononciation

Le nombre 5 ayant exactement deux racines carrées réelles, √5 et –√5, √5 devrait se prononcer « racine carrée positive de cinq », ou « racine carrée principale de cinq », mais il se prononce habituellement « racine carrée de cinq », voire « racine de cinq » pour simplifier. Une autre expression correcte, faisant référence au symbole √, est « radical de cinq», mais elle est peu courante.
√5 se note également 5^1/2 (notation Unicode : 5^½).
√5 s'écrit en général sqrt(5) dans les langages informatiques, pour le terme anglais "square root".

Valeur approchée

√5 vaut approximativement

$2,236~067~977~4$ dans le système décimal (suite A002163 de l'OEIS),
$10,001~111~00$ dans le système binaire (suite A004555 de l'OEIS) et
2, 3C6 EF3 72F E94 F82 C dans le système hexadécimal.

Irrationalité

La racine carrée de 5, comme celle de tout entier naturel qui n'est pas un carré parfait, est irrationnelle.

Développement en fraction continue

Le développement en fraction continue simple de √5 est [2, 4] (suite A040002 de l'OEIS).

Comme pour tout irrationnel quadratique (solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers), ce développement est périodique. La période est de longueur 1.

Les réduites successives sont : ${\frac {2}{1}},{\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},{\frac {2889}{1292}}\ldots$ Elles forment la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0}=2,u_{n+1}=2+{\frac {1}{4+u_{n}-2}}={\frac {2u_{n}+5}{u_{n}+2}}$ .

On a : $u_{n}={\sqrt {5}}{\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}+(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}{(2+{\sqrt {5}})^{n+1}-(2-{\sqrt {5}})^{n+1}}}={\frac {\left\lfloor (2+{\sqrt {5}})^{n+1}\right\rceil }{\left\lfloor {\frac {(2+{\sqrt {5}})^{n+1}}{\sqrt {5}}}\right\rceil }}$ , où $\left\lfloor x\right\rceil$ est l'entier le plus proche de $x$ .

Les numérateurs forment la suite A001077 de l'OEIS et les dénominateurs la suite A001076 de l'OEIS.

Calcul d'une valeur approchée

Méthodes générales

Approximation par la méthode de Héron

La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs ; elle est applicable à la racine carrée de 5.

Prenons la partie entière de √5, $x 0 = 2$ .

La méthode de Héron consiste à calculer les termes successifs d'une suite approchant $\sqrt A$ par la formule de récurrence :

x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {A}{x_{n}}}}{2}},

avec ici, $A = 5$ . Par itérations successives, on obtient :

$x_{1}={\frac {2+{\tfrac {5}{2}}}{2}}={\frac {9}{4}}=u_{1}=2,25$
$x_{2}={\frac {{\tfrac {9}{4}}+5{\tfrac {4}{9}}}{2}}=u_{3}={\frac {161}{72}}\approx 2,236\,1$
$x_{3}={\frac {{\tfrac {161}{72}}+5{\tfrac {72}{161}}}{2}}={\frac {51841}{23184}}=u_{7}\approx 2,236\,067\,977\,9.$

Les numérateurs forment la suite A081459 de l'OEIS, et les dénominateurs la suite A081460 de l'OEIS.

$(x_{n})$ est une sous-suite de $(u_{n})$ : $x_{n}=u_{(2^{n}-1)}$ , décroissant rapidement vers √5 (convergence quadratique). Une suite croissante associée est $(5/x_{n})$ , d'où l'encadrement : $5/x_{n}<{\sqrt {5}}<x_{n}$ . Pour $n=3$ , cet encadrement permet déjà d'obtenir ${\sqrt {5}}\approx 2,236\,067\,98$ .

Méthode spécifique

Par la suite de Fibonacci

La formule suivante, démontrée initialement par Paul Erdős, relie √5 aux inverses des termes de la suite de Fibonacci dont l'indice est une puissance de 2^[1]:

\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{2}}

Cela donne la formule : ${\sqrt {5}}=7-2\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}\right)$ qui converge très vite, puisque les 6 premiers termes donnent 13 décimales correctes et le 7^e donne les 13 suivantes^[a]^,^[b].

Lien avec le nombre d'or

La racine carrée de 5 entre dans l'expression du nombre d'or $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$

On trouve donc ${\sqrt {5}}=2\varphi -1\quad {\rm {et}}\quad {\sqrt {5}}=\varphi +{\frac {1}{\varphi }}.$

Autre expression comme somme de série

En utilisant la série génératrice des coefficients binomiaux centraux, on a :

{\sqrt {5}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{5^{n}}}

Expressions par radicaux infiniment imbriqués

$1+{\sqrt {5}}=2\varphi =2{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}$ ; voir à Radical_imbriqué#Racine_carrée,
${\sqrt {5}}={\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5{\sqrt[{3}]{5\dots }}}}}}$ car ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{2}}$ .

Trigonométrie

Comme √2 et √3, la racine carrée de 5 est présente dans les formules pour les constantes trigonométriques exactes incluant des angles en degrés divisibles par 3 mais pas par 15. Les plus simples sont :

\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }=\cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}\right),

\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }=\cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},

\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}}),

\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}},

\tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}.

Formules de Ramanujan

La racine carrée de 5 est présente dans plusieurs formules données par Srinivasa Ramanujan impliquant des fractions continues généralisées :

{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi }\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi }\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right){\rm {e}}^{2\pi /5}={\rm {e}}^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).

{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-2\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-4\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+{\frac {{\rm {e}}^{-6\pi {\sqrt {5}}}\mid }{\mid 1}}+\cdots =\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right){\rm {e}}^{2\pi /{\sqrt {5}}}.

4\int _{0}^{\infty }{\frac {x{\rm {e}}^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,{\rm {d}}x={\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {1^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {2^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+{\frac {3^{2}\mid }{\mid 1}}+\cdots .

Articles connexes

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Square root of 5 » (voir la liste des auteurs).

Notes

↑ La vitesse de convergence vient de ce que le terme général de la série décroit comme l'inverse d'une fonction exponentielle double.
↑ Dans la pratique, cette méthode présente cependant l'inconvénient de devoir manipuler de grands entiers.

Références

↑ (en) Catalin Badea, « A theorem on irrationality of infinite series and applications », Acta Arithmetica, vol. 63,‎ 1993, p. 313-323 (lire en ligne).

Portail des mathématiques

[2] La vitesse de convergence vient de ce que le terme général de la série décroit comme l'inverse d'une fonction exponentielle double.

[3] Dans la pratique, cette méthode présente cependant l'inconvénient de devoir manipuler de grands entiers.

[badea-1] (en) Catalin Badea, « A theorem on irrationality of infinite series and applications », Acta Arithmetica, vol. 63,‎ 1993, p. 313-323 (lire en ligne).

[1]

[a]

[b]