Système de coordonnées bifocales

Le système de coordonnées bifocales est un système de coordonnées dans lequel tout point P est repéré par ses distances à deux points fixes A et B (les foyers).

Si l'on désigne par ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle r_{\mathrm {A} }}$ et ${\displaystyle r_{\mathrm {B} }}$ les distances AB, AP et BP, les coordonnées bifocales sont définies par^[1] :

${\displaystyle u={\frac {r_{\mathrm {A} }+r_{\mathrm {B} }}{R}}}$

et :

${\displaystyle v={\frac {r_{\mathrm {A} }-r_{\mathrm {B} }}{R}}}$,

auxquelles on adjoint, si le problème étudié est à trois dimensions, l'azimut ${\displaystyle \phi }$ du plan APB par rapport à un plan fixe contenant AB.

Les coordonnées u et v peuvent aussi être notées ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \nu }$.

Si l'on choisit un repère orthonormé d'axe Oz dirigé du milieu O de AB vers B, les coordonnées cartésiennes sont données par^[1] :

${\displaystyle x={\tfrac {R}{2}}{\sqrt {(u^{2}-1)(1-v^{2})}}\cos \phi }$,

${\displaystyle y={\tfrac {R}{2}}{\sqrt {(u^{2}-1)(1-v^{2})}}\sin \phi }$,

${\displaystyle z={\tfrac {R}{2}}\,uv}$.

Les coordonnées bifocales sont utilisées en mécanique quand l'énergie potentielle est du type :

${\displaystyle U(r_{\mathrm {A} },r_{\mathrm {B} })={\frac {1}{r_{\mathrm {A} }r_{\mathrm {B} }}}[f(u)+g(v)]}$.

Elles ont notamment été employées par Euler pour résoudre le problème du mouvement d'une planète entre deux étoiles fixes.^{[réf. nécessaire]}

Elles ont aussi été employées pour obtenir les états électroniques et vibrationnels de l'ion H⁺
₂, dans l'approximation de Born-Oppenheimer^[1], ainsi qu'en relativité générale^[2].

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